Contoh soal dan pembahasan matematika

Berikut adalah jawaban dan pembahasan soal persamaan dan pertidaksamaan rasional dan irasional, materi kelas x semester 1,

A. Bilangan prima dan komposit Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk) Teorema (topik Eratosthenes): Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p|n dan p<=√n. Artinya jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p<= √n maka n adalah bilangan prima. Contoh: Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a^2 - b^2= 1991. Jawab: Karena 1991 merupakan bilangan komposit (1991=11×181) maka: a^2 - b^2= 1991 (a - b) (a + b) =1991 11 × 18= 1991 Atau 1 × 1991= 1991 Kemungkinan I. a + b = 1991 a -  b =       1 2a     = 1992 a       = 996 b       = 995 Kemungkinan II. a + b = 181 a - b  = 11 2a     = 192 a       = 96 b       = 85 Jadi pasangan-pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi adalah (996, 995) dan (96, 85)

Tentukan berapa sisanya jika 43^79 dibagi 7? Jawab: Jelas (43^79) =(7k+1) ^79 Dibagi 7 sisa 1.

Ciri-ciri bilangan kuadrat adalah sebagai berikut: a. Bilangan kuadrat memiliki satuan 0,1,4,5,6, dan 9 b. Bilangan kuadrat jika dibagi 3 sisanya 0 atau 1 Setiap bilangan asli bisa dikelompokkan menjadi 3 bagian yaitu 3k, 3k+1, dan 3k +2 (3k) ^2 = 9k^2 jika dibagi 3 sisanya 0 (3k+1) ^2=9k^2+6k+1 jika dibagi 3 sisanya 1 (3k+2) ^2=9k^2+12k+4 jika dibagi 3 sisa 1. Contoh: Apakah 721543271 bilangan kuadrat?  Jawab: 7+2+1+5+4+3+2+7+1  = 32 32 = 3 x 10 + 2.  Jelas 32 jika dibagi 3 sisa 2. Maka 721543271 bukan bilangan kuadrat.  c. Bilangan kuadrat jika dibagi 4 sisanya 0 dan 1 Setiap bilangan asli dapat dikelompokkan dalam 4 kelompok yaitu 4k, 4k+1, 4k+2, dan 4k+3  (4k) ^2=16k^2 dibagi 4 sisa 0 (4k+1) ^2= 16k^2+8k+1 dibagi 4 sisa 1 (4k+2) ^2=16k^2+16k+4 dibagi 4 sisa 0 (4k+3) ^2=16k^2+24k+9 dibagi 4 sisa 1 Jika bilangan itu kuadrat bilangan genap maka dibagi 4 sisa 0. Jika bilangan itu kuadrat bilangan ganjil maka dibagi 4 sisa 1. Contoh: Apakah 94387

Jika anda bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan rahasia sedemikian hingga: a = qb + r Dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian "a dibagi dengan b". Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a. Sifat-sifat keterbagian: 1. a|b dan b|c maka a|c 2. ab|c maka a|c dan b|c 3. a|b dan a|c maka a|(bx+cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y. # suatu bilangan habis dibagi 2^n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n. Contoh: 1. Untuk n =1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2. Contoh: Apakah n^2 +17n +72 bilangan genap, untuk n bilangan bulat? Jawab: n^2 +17n + 72 = (n+8) (n+9) adalah perkalian 2 bilangan bulat berurutan, jadi genap. 2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. Contoh: Apakah 71256798725436 habis dibagi 4? Jawab: Jel

Dalam kehidupan sehari-hari secara tidak sadar sebenarnya kita sudah berfilsafat tentang matematika. Misal pada pembagian 1 : 2 = 1/2 artinya jika kita memberikan 1 kebaikan lalu kita mengharapkan 2 kebaikan maka pada hakikatnya kita hanya mendapatkan 1/2 kebaikan saja. 1 : 1 = 1 artinya jika kita memberikan 1 kebaikan lalu kita mengharapkan imbalan kebaikan pula. Maka kita hanya memperoleh 1 kebaikan pula. Namun ketika 1 : 0 = ~ artinya jika kita memberikan 1 kebaikan dan kamu tdk mengharapkan apapun maka justru kita akan memperoleh tak hingga kebaikan. Oleh karena itu dalam ilmu agama ketika kita melakukan kebaikan kita di ajarkan untuk ikhlas.

(1) jika √(x^2-5x-5) <= 2x + 1, nilai x yang memenuhi adalah. .. (2) nilai-nilai x yang memenuhi x+2>√(10-x^2) adalah.. . (3) nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √(2x^2+6x-8) <√(x^2+6x) adalah... (4) semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan √(x^2-x-56) <4 adalah .... Penyelesaian:

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan berbentuk pecahan yang penyebut nya memuat variabel. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional sebagai berikut: 1) buatlah ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi nol. 2) buatlah ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional) 3) tentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol. 4) tentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi yaitu penyebut tidak sama dengan nol. 5) letakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan, lalu tentukan tanda setiap interval yang terbentuk. 6) tentukan penyelesaian pertidaksamaan dengan menentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan.

Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b bukan bilangan bulat serta b tidak sama dengan nol. Bilangan irasional dapat dikenali dari beberapa ciri berikut. 1) bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa 2) jika ditulis sebagai pecahan desimal, bilangan irasional mempunyai bilangan di belakang koma tak terbatas dan tak berulang seperti berikut. √2 = 1,41421356237309500488016887242096 √3 = 1,73205080756887729352744634150587 Persamaan rasional adalah persamaan dalam bentuk pecahan yang memuat satu atau lebih variabel pada pembilang atau penyebut nya.

Persamaan irasional adalah persamaan yang variabel nya berada dibawah tanda akar dan tidak dapat ditarik keluar dari tanda akar. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan irasional secara umum sebagai berikut: 1) mengubah persamaan irasional ke bentuk umum persamaan irasional (ruas kiri bentuk akar) 2) menetapkan syarat bagi bilangan /fungsi yg di akar harus selalu lebih dari atau sama dengan nol. 3) menetapkan syarat hasil penarikan akar harus lebih dari atau sama dengan nol (ruas kanan >= 0) 4) menghilangkan tanda akar dengan mengkuadratkan ke dua ruas 5) menentukan penyelesaian akibat kedua ruas di kuadrat kan 6) menentukan irisan penyelesaian dari langkah 2),  3), dan 4) 7) memeriksa penyelesaian yang diperoleh pada pertidaksamaan semula. Contoh soal: Nilai x yang memenuhi persamaan √(10x-25) =20-5x adalah...

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang variabel nya berada dibawah tanda akar dan tidak dapat ditarik keluar tanda akar. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah sebagai berikut: 1) mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum pertidaksamaan irasional (ruas kiri berupa bentuk akar) 2) menentukan nilai ruas kanan.      a) jika ruas kanan nol atau positif, maka:          (1) menghilangkan tanda akar dengan mengkuadratkan kedua ruas          (2) menentukan penyelesaian akibat kedua ruas di kuadrat kan          (3) menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan di bawah tanda akar          (4) Menentukan irisan ketiga penyelesaian di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional.      b) jika ruas kanan bernilai negatif, lakukan langkah berikut          (1) menentukan penyelesaian pertidaksamaan untuk nilai ruas kanan          (2) menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan di bawah tanda akar  

Persamaan irasional adalah persamaan yang memuat bentuk akar. √f(x) terdefinisi jika f(x) >= 0. Sehingga dalam penyelesaian persamaan irasional terdapat syarat numeris (syarat yg harus dipenuhi) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan √2(x^2-1) =√3(4-x) Adalah.  Penyelesaian:

Olympiade merupakan salah satu ajang bergengsi untuk menguji kemampuan matematika seseorang. Sehingga diperlukan banyak latihan. Berikut penulis lampirkan contoh soal olympiade matematika.  https://drive.google.com/file/d/1FNHkW1vlNJ__Cdc5A6fMrRMryaVzpH_y/view?usp=drivesdk

Jika ingin jago matematika makan harus sering berlatih, berikut adalah contoh soal beserta pembahasan PAT (penilaian akhir tahun) matematika wajib semester genap kelas X SMA.  https://drive.google.com/file/d/13FKOnXFLD85A8X6H4W7F-xu8BuMx4D0M/view?usp=drivesdk

Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara penyajian himpunan 1. Enumerasi 2. Simbol-simbol baku 3. Notasi pembentuk himpunan 4. Diagram ven Kardinalitas Jumlah elemen di dalam Album disebut Kardinal dari himpunan A Notasi : n(A) atau |A| Himpunan kosong Himpunan dengan Kardinal =0 disebut himpunan kosong (null set) Notasi : {} Himpunan bagian (subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Untuk lebih lengkap silakan klik disini.  https://drive.google.com/file/d/1RT1HQ8LVhMfEk0PhlVepbMVWdyziAmMJ/view?usp=drivesdk

Bilangan merupakan salah satu materi dasar dalam matematika, khususnya penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Berikut disajikan contoh soalnya.  https://drive.google.com/file/d/1OQL7QxblfzNSr0hvHZ2vZlqmeICFA912/view?usp=drivesdk

Pecahan 1/2 dibaca satu per dua. Angka 1 dinamakan pembilang dan angka 2 dinamakan penyebut. Suatu pecahan bisa dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan jika memiliki penyebut yang sama, jika tidak, maka harus disamakan terlebih dahulu bagian penyebut nya dengan cara mencari kpk dari penyebut nya. Yang dikenakan penjumlahan atau pengurangan adalah pembilang nya. Berikut penulis sertakan contoh soal materi pecahan untuk anak kls 4 SD. https://drive.google.com/file/d/1UfaOhEuuGPBvTaZ6b-e0gz2OecMllzvM/view?usp=drivesdk

Pecahan 1/2 dibaca satu per dua. Angka 1 dinamakan pembilang dan angka 2 dinamakan penyebut. Suatu pecahan bisa dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan jika memiliki penyebut yang sama, jika tidak, maka harus disamakan terlebih dahulu bagian penyebut nya dengan cara mencari kpk dari penyebut nya. Yang dikenakan penjumlahan atau pengurangan adalah pembilang nya. Berikut penulis detakan contoh soal materi pecahan untuk anak kls 5 SD.  https://drive.google.com/file/d/1MDIaFq4VY0HE8Dx2e1AyCVEvsBhzf4_f/view?usp=drivesdk

Ptk atau penelitian tindakan kelas merupakan salah satu karya ilmiah yang harus di susun oleh mahasiswa ppg prajabatan guna memenuhi syarat lulus ppg. Berikut penulis lampirkan contoh proposal ptk untuk jurusan matematika. https://drive.google.com/file/d/1ugNpwT7VCTsc69N4AjdRqCCIt7pLRa1Y/view?usp=drivesdk

Silabus matematika wajib kelas x kurikulum 2013 yang sudah di kembangkan. Silakan bisa di klik disini.  https://drive.google.com/file/d/1_OezcvuTZxQK96CxfjvrmxDAdnk3z7_i/view?usp=drivesdk Baca artikel lainnya: https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/proposal-penelitian-tindakan-kelas-ptk.html?m=1 https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/peraturan-sertifikasi-gtt-non-pns-di.html?m=1 https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/modul-penyusunan-soal-hots-matematika.html?m=1 https://mthisfun.blogspot.com/2019/08/rpp-fungsi-logaritma.html?m=1

Cara menentukan turunan pertama fungsi f(x)  = sec(2x^3+x^2√x)  adalah sebagai berikut.

Cara menentukan turunan pertama dari fungsi g(x)  = (1/2) sin (2x+1)  adalah sebagai berikut, Baca juga artikel lainnya disini https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/turunan-pertama-dari-fungsi-fx-sec2x3.html?m=1

Cara mudah menghafalkan perkalian sembilan Kadang orang merasa kesulitan untuk menghafalkan perkalian. Begini cara mudah untuk menghafalkan perkalian sembilan. 9 x 1 = 9 9 x 2 = 18 => (2 - 1) =1 sehingga puluhan nya bernilai 1 dan satuannya haruslah (9 - 1) = 8. 9 x 3 = 27 => (3 - 1)= 2 sehingga puluhannya bernilai 2 dan satuannya haruslah (9-2) = 7. 9 x 4 = 36 => (4 - 1) =3 sehingga puluhannya bernilai 3 dan satuannya haruslah (9 - 3) =6. Begitu seterusnya. 9 x 5 = 45 9 x 6 = 54 9 x 7 = 63 9 x 8 = 72 9 x 9 = 81 9 x 10 = 90.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponen 3.2^(4x) +2^(2x) -10=0 Penyelesaian.

Penyelesaian pertidaksamaan |2x + 4| >= |x + 5| adalah... Jawaban. Pada tipe soal pertidaksamaan nilai mutlak kita bisa gunakan 2 cara yakni dengan peng kuadratan atau dengan menggunakan definisi, jika hendak menggunakan cara peng kuadratan makan syaratnya adalah ke dua ruas baik kiri maupun kanan harus bernilai positif, jika tidak makan kita tidak bisa menggunakan cara peng kuadratan. Berikut penulis paparkan dengan menggunakan ke dua cara tersebut. Baca artikel lainnya: https://mthisfun.blogspot.com/2019/08/himpunan-penyelesaian-dari.html?m=1

Diketahui : f(2)  = 3, f'(2) =6,  g(2)=1,  g'(2) =4 h(x) =[f(x) .g(x) ]/[f(x) -g(x) ] Ditanya : h'(2) Jawab: U=f(x). g(x) U'=f'(x). g(x) +g'(x). f(x) V = f(x) -g(x) V'= f'(x) -g'(x) Jadi Baca artikel lainnya: https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/menentukan-fx-dari-f-x-sin2-2x-3.html?m=1 https://mthisfun.blogspot.com/2019/09/turunan-pertama-dari-fungsi-gx-12-sin2x1.html?m=1

Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri menuju tak hingga ada dua cara yakni menggunakan metode apit dan menggunakan metode subtitusi. Berikut disajikan contoh soal berikut penyelesaiannya.

Diketahui f(x)= sin^2 (2x +3) Ditanya : f'(x)... ? Jawab :

TPG (tunjangan profesi guru) sebagai akibat atau implikasi karena seorang guru telah memiliki sertifikat pendidik yang bagi guru non PNS di sekolah negeri hanya angan-angan saja karena terkendala dengan sk bupati (bagi jenjang SD - SMP)  dan sk gubernur (bagi guru jenjang sma/SMK). Berikut ada kabar gembira yang dapat dicermati bagi guru non PNS di sma/SMK. Silakan klik dis https://drive.google.com/file/d/1WsPndjbjJIJksmYvQz7ZhnmrENz53qca/view?usp=drivesdk ini.

Soal hots itu soal yang seperti apa sih? Itu yang menjadi banyak pertanyaan dibenak para guru.  Karena akhir- akhir ini guru dituntut untuk menyusun soal hots (high order thinking skill). Berikut di sajikan modul tentang penyusunan soal hots. Silakan klik disi https://drive.google.com/file/d/1xcjy3Qa0CyLoAK35oIU2BZM1nYI53X0B/view?usp=drivesdk ni.

Pisah Satu kata kala ku ingat dirimu Pisah Walau menyakitkan, namun harus di lalui Pisah Walau tanpamu, aku harus bisa Bisa melanjutkan hidup ku Bisa menopang diri ku Pisah Walau tak pernah ku harapkan, namun terlontar jua kata itu Pisah Walau kelu lidah tuk ku ucap kata itu, namun terucap jua Pisah Terimakasih kau telah mengisi hari ku Terimakasih kau telah hadir dalam hidupku Terimakasih kau yang pernah mencintai ku Terimakasih kau yang pernah menyayangi ku Terimakasih kau yang telah menyakiti ku Terimakasih kau yang telah menancapkan pisau di hati ku.

Materi kelas X terdiri dari: 1. Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak 2. Persamaan dan pertidaksamaan rasional dan irasional 3. Sistem persamaan linear tiga variabel 4. Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear - kuadrat, kuadrat - kuadrat.  Untuk paparan bukunya bisa di klik dis https://drive.google.com/file/d/1QjHWiM5rnxuCk0epCDxZaAnzoWQlJGkq/view?usp=drivesdk ini

Filsafat matematika Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang menjadi momok di sekolah.  Tidak sedikit anak yang kadang merasa pusing padahal baru melihat jadwal untuk hari esok karena ada pelajaran matematika. Namun pada hakikatnya sebagai manusia kita tidak dapat lepas dari yang namanya matematika. Dimanapun kita menjumpai matematika walaupun itu hanya bentuk penjumlahan ataupun pengurangan. Namun dengan perkembangan zaman banyak yang mengandalkan kalkulator untuk berhitung sehingga tidak jarang untuk operasi pembagian yang sederhana pun terkadang merasa kesulitan jika tidak menggunakan kalkulator. Banyak orang beranggapan bahwa matematika adalah ilmu pasti, namun semakin kita memperdalam matematika kita akan menjumpai semakin banyak ketidak pastian, namun semakin yakin akan kebesaran Tuhan.