Teori bilangan

Jika anda bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan rahasia sedemikian hingga:
a = qb + r
Dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian "a dibagi dengan b". Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a.
Sifat-sifat keterbagian:
1. a|b dan b|c maka a|c
2. ab|c maka a|c dan b|c
3. a|b dan a|c maka a|(bx+cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y.

# suatu bilangan habis dibagi 2^n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n.
Contoh:
1. Untuk n =1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.
Contoh:
Apakah n^2 +17n +72 bilangan genap, untuk n bilangan bulat?
Jawab:
n^2 +17n + 72 = (n+8) (n+9) adalah perkalian 2 bilangan bulat berurutan, jadi genap.

2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.
Contoh:
Apakah 71256798725436 habis dibagi 4?
Jawab:
Jelas dua angka terakhir nya adalah 36.
36 = 9 x 4,
Jadi 71256798725436 habis dibagi 4.

3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
Contoh:
Apakah bilangan 123412328 habis dibagi 8?
Jawab:
Jelas tiga angka terakhir nya adalah 328.
328 = 8x41
Jadi 123412328 habis dibagi 8.

# Bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.
Contoh:
A1A2A3A4A5A6A7A8A9 habis dibagi 3, berapa nilai A?
Jawab:
A1A2A3A4A5A6A7A8A9=A+1+A+2+A+3+A+4+A+5+A+6+A+7+A+8+A+9= 9A+ 45 habis dibagi 3 dan A tidak 0, maka:
Jika A = 1,2,3,4....9

#bilangan habis dibagi 5 Jika angka satuannya 0 atau 5

# bilangan habis dibagi 6
Jika:
1.angka satuannya genap
2.jumlah angka-angkanya habis dibagi 3
3.perkalian tiga bilangan bulat berurutan.
Contoh:
Apakah 72159652 habis dibagi 6?
Jawab:
1. Angka satuannya genap, jelas 2 adalah bilangan genap
2. Jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Jelas 7+2+1+5+9+6+5+2=37.
37=3x12+1. Jadi 37 tidak habis dibagi 3.
Jadi 72159652 tidak habis dibagi 6.

#bilangan habis dibagi 7
1. Jika ABC habis dibagi 7, maka 2A+3B+C juga habis dibagi 7
2. Jika ABCD habis dibagi 7 maka 6A+2B+3C+D juga habis dibagi 7.
3. Jika bilangan terdiri dari n angka habis dibagi 7 maka bilangan baru yang terdiri dari n-1 angka setelah diambil satu angka terakhir lalu dikurangi 2 kali angka terakhir juga habis dibagi 7, seperti dibawah ini:
Jika ABC habis dibagi 7 maka ab - 2c juga habis dibagi 7.
Jika abcd habis dibagi 7 maka abc- 2d habis dibagi 7.
Contoh:
Apakah 19313 habis dibagi 7?
Jawab:
1931-6 =1925
192-10=182
18-4 = 14 dan 14 habis dibagi 7.

#bimangan habis dibagi 9, jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh:
47a56 habis dibagi 9, berapa nilai a?
Jawab:
Jumlah angka-angkanya 4+7+a+5+6 = a + 22 harus habis dibagi 9,maka a = 5.

#bilangan habis dibagi 11
1.selisih antara jumlah angka-angkanya yang bernomor urut genap dengan jumlah angka-angkanya yang bernomor urut ganjil, habis dibagi 11.
2. Jika abcde habis dibagi 11, maka (a + c + e) - (b+d) habis dibagi 11
3. Bilangan berbentuk aabb
4. Bilangan berbentuk abba
5. Bilangan berbentuk abcabc
6. Bilangan berbentuk abccba