Varaibel acak dan fungsi distribusi peluang

Peluang

Misalkan A adalah suatu kejadian maka, 

Dengan

 : banyaknya kejadian A

 banyak ruang sampel

 Konsep variable acak

Variable acak adalah suatu fungsi yang mengawankan suatu kejadian dari ruang sampel ke nilai numeriknya. Variable acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, Y, dan Z, sedangkan nilai variable acak dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya x, y, dan z.

Variable acak ada dua macam, yaitu variable acak diskret dan variable acak kontinu.

Variable acak diskrit adalah variable acak yang nilai numeriknya berupa bilangan bulat. Misalkan pada percobaan pelambungan sebuah uang logam sebanyak dua kali. variable acak banyak diperoleh hasil gambar adalah 0, 1, dan 2

Pelambungan ke 1/ pelambungan ke 2	A (angka)	G (gambar)
A	AA	AG
G	GA	GG

 

Variable acak X menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul, maka:

X = 0, artinya munculnya sisi angka semua atau tidak muncul sisi gambar

X = 1, artinya munculnya sisi gambar sebanyak 1 kali

X = 2, artinya munculnya sisi gambar sebanyak 2 kali.

Variable acak kontinu adalah variable acak yang nilai numeriknya berupa interval bilangan real. Misalkan pada percobaan lama waktu yang diperlukan siswa untuk menyelesaikan sebuah soal, variable acaknya 5 < t < 10 dengan t menyatakan waktu dalam menit.

1.       Variable acak diskrit

Misalkan X adalah banyak nya sisi gambar yang muncul pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak dua kali. Peluang X = 0, 1, dan 2 dari variable acak X dinamakan fungsi peluang atau fungsi kepadatan peluang nilai variable acak X (probability density function). Dinotasikan dengan f(x) atau

 dengan a adalah nilai variable acak X.

Pelambungan ke 1/ pelambungan ke 2	A (angka)	G (gambar)
A	AA	AG
G	GA	GG

 n(S) = 4

 

Distribusi peluang variable acak X adalah sebagai berikut:

X	0	1	2
f(x)

 

Dalam notasi peluang, peluang muncul gambar kurang dari atau sama dengan satu dinyatakan dengan F(1) =

. Nilai F(1) dinamakan fungsi peluang kumulatif atau fungsi kepadatan kumulatif.

Fungsi peluang kumulatif pada X = c dinyatakan: 

Sehingga distribusi peluang kumulatif variable acak X sebagai berikut:

X	0	1	2
F(X)			1

 

Diperoleh dari:

F(0) = 

Jika dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi peluang kumulatif variable acak X diperoleh sebagai berikut,

 

Contoh soal:

Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali.

a.       Tentukan distribusi peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul 

b.      Tentukan distribusi peluang kumulatif jumlah kedua mata dadu yang muncul dalam bentuk table dan fungsi.

c.       Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 5

d.      Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul kurang dari 4

e.      Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul antara 5 sampai dengan 8

f.        Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul lebih dari 8

Penyelesaian:

Misalkan X = jumlah kedua mata dadu yang muncul

a.       Pasangan jumlah kedua mata dadu yang muncul disajikan dalam table berikut.

Dadu 1/ dadu 2	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

 

Dari table diperoleh nilai variable acak X adalah 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 dan 12. Terdapat 36 pasang mata dadu sehingga n(S) = 36. Nilai-nilai X beserta banyak anggotanya disajikan dalam table berikut:

Nilai X	Banyak anggota
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

 

Dari table dapat dihitung:

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 2 = f(2) = P(X=2) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 3 = f(3) = P(X=3) =

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 4 = f(4) = P(X=4) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 5 = f(5) = P(X=5) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 6 = f(6) = P(X=6) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 7 = f(7) = P(X=7) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 8 = f(8) = P(X=8) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 9 = f(9) = P(X=9) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 10 = f(10) = P(X=10) = 

·         Peluang muncul pasang mata dadu berjumlah 11 = f(11) = P(X=11) = 

Berdasarkan hasil perhitungan nilai-nilai f(x) diatas dapat dibuat distribusi peluang variable acak X sebagai berikut:

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)

 

b.      Dari table diatas diperoleh

F(2) = 

F(3) = 

F(4) = 

F(5) = 

F(6) = 

F(7) = 

F(8) = 

F(9) = 

F(10) = 

F(11) = 

F(12) = 

 

Table distribusi peluang kumulatif variable acak X sebagai berikut:

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
F(x)										1

 

Fungsi peluang kumulatif variable acak X sebagai berikut.

 

c.       Peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 5 adalah P(X = 5) 

d.      Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul kurang dari 4

e.      Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul antara 5 sampai dengan 8 

     Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul lebih dari 8