contoh soal dan pembahasan Matematika-faktorial, permutasi dan kombinasi
faktorial, permutasi dan kombinasi
A. A. Factorial dari bilangan asli
Factorial dari bilangan asli
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi:
Untuk
setiap bilangan asli n, didefinisikan:
n! = 1 x 2
x 3 x … x (n - 2) x (n – 1) x n
lambang
atau notasi n! dibaca n factorial
didefiniskan
pula 1! = 1 dan 0! = 1
contoh:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
B. B. Permutasi
Definisi:
Permutasi r unsure yang diambil
dari n unsure yang tersedia (tiap unsure itu berbeda) adalah susunan dari r
unsure itu dalam suatu urutan r ≤ n.
Banyak permutasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia dilambangkan
dengan notasi: nPr = 
=
Ciri permutasi adalah
memperhatikan urutan artinya ketika suatu peritiwa terjadi AB maka tidak sama
dengan ketika suatu peristiwa yang terjadi BA. Contohnya pada pemilihan ketua
dan sekretaris. Jadi ketika suatu peristiwa si A menjabat sebagai ketua
sedangkan si B menjabat sebagai sekretaris dan suatu peristiwa si A menjabat
sebagai sekretaris sedangkan si B menjabat sebagai ketua itu dianggap dua
peristiwa yang berbeda AB ≠ BA.
Contoh soal:
1.
Hitunglah permutasi 
Penyelesaian:
2.
Dari 9 buah kelereng, 2 buah kelereng berwarna
merah, 4 buah berwarna kuning, dan 3 buah berwarna hitam. Berapa banyak
carauntuk menyusun 9 buah kelereng itu secara berdampingan?
Penyelesaian
Diketahui: banyaknya unsure n = 9
Merah
(m) = 2
Kuning (k) =
4
Hitam
(h) = 3
Ditanya: cara menyusun 9 buah kelereng secara berdampingan
Jawab:
Jadi banyaknya cara untuk menyusun 9 buah kelereng secara
berdampingan adalah 1260 macam cara.
3.
Dalam sebuah kotak terdapat lima buah bola yang
dapat diambil satu persatu secara berurutan (pengambilan tanpa pengembalian).
Berapa banyak pasangan warna yang dapat terjadi jika yang terambil:
a.
2 bola merah dan 3 bola putih.
b.
2 bola merah, 2 bola kuning, 1 bola putih.
c.
1 bola merah, 1bola kuning, dan 3 bola putih
d.
1 bola merah, 1 bola kuning, 1 bola biru dan 2
bola putih.
Penyelesaian
Diketahui: banyaknya
bola (n) = 5
Merah (m)
Putih (p)
Kuning (k)
Biru (b)
Pengambilan secara
berurutan tanpa pengembalian.
Ditanya: a. 2m3p
b. 2m2k1p
c. 1m1k3p
d. 1m1k1b2p
jawab:
a. Peristiwa terambil
b. Peristiwa terambil 2m2k1p
c. Peristiwa terambil 1m1k3p
d. Peristiwa terambil 1m1k1b2p =
C. C. Kombinasi
Definisi:
Kombinasi r unsure yang diambil
dari n unsure yang tersedia (tiap unsure berbeda) adalah suatu pilihan dari r
unsure tanpa meperhatikan urutannya (r ≤ n)
Ciri kombinasi adalah tidak
memperhatikan urutan artinya ketika suatu peritiwa terjadi AB maka sama dengan
ketika suatu peristiwa yang terjadi BA. Contohnya pada pemilihan untuk delegasi
suatu perlombaan. Seorang guru memilih 2 anak yang terdiri dari 1 putri dan 1
putra di kelas XII. Sehingga peristiwa ketika guru tersebut memilih 1 putra
kemudian memilih 1 putri ini sama saja dengan peristiwa ketika guru tersebut
memilih 1 putri terlebih dahulu kemudian memilih 1 putra dengan kata lain ini
dianggap satu peristiwa yang sama (AB = BA).
Contoh soal:
1. Hitunglah
Penyelesaian:
Jelas
2.
Tiga buah huruf diambil dari huruf-huruf M, A,
T, E, M, A, T, I, K, dan A. berapa banyak cara memilih ketiga huruf itu jika
urutan huruf tidak diperhatikan.
Penyelesaian:
Banyak huruf (n) = 10
Banyak yang diambil (r) = 3
Urutan huruf tidak diperhatikan maka termasuk peristiwa kombinasi
Jadi banyaknya cara memilih tiga huruf dari huruf-huruf M, A,
T, E, M, A, T, I, K, A adalah 120 cara.
3.
Dari 12 orang yang terdiri dari 7 orang wanita
dan 5 orang pria akan dibentuk sebuah delegasi yang beranggotakan 4 orang.
Berapa banyak delegasi yang dapat dibentuk, jika disyaratkan:
a.
Setiap orang (dari 12 orang) mempunyai hak yang
sama untuk dipilih sebagai anggota delegasi.
b.
Anggota delegasi terdiri atas 2 orang pria dan 2
orang wanita.
Penyelesaian
a. Memilih 4 orang dari 12 orang yang tersedia merupakan kombinasi 4 unsur yang diambil dari 12 unsur yang tersedia.
Jadi banyak delegasi yang dapat dibentuk jika setiap orang
mempunyai hak yang sama untuk dipilih seluruhnya ada 495.
b. 2 orang pria dipilih dari 5 orang pria yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur
2 orang wanita dipilih dari 7 orang wanita yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 7 unsur
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak delegasi yang terdiri atas 2 orang pria dan 2 orang wanita adalah
Jadi banyaknya delegasi yang dapat dibentuk yang terdiri dari
2 orang pria dan 2 orang wanita seluruhnya ada 210.
Comments
Post a Comment