contoh soal dan pembahasan Matematika-Aplikasi turunan fungsi trigonometri (nilai maksimum dan minimum)

Nilai maksimum dan nilai minimum

Contoh soal

1.       Berapakah nilai maksimum dan minimum dari fungsi

 pada selang 

Penyelesaian:

Gunakan sifat turunan fungsi untuk mencari g’(x).

Misalkan u = 3, maka u’ = 0 dan v = 2 sin x + 3, sehingga v’ = 2 cos x.

Setelah diperoleh g’(x) kemudian cari titik ekstrim yaitu titik ekstrem tercapai pada g’(x) = 0.

Agar diperoleh g’(x) = 0 cukup perhatikan pembilang pada fungsi g’(x). untuk menentukan x maka pembilang pada fungsi g’(x)  harus bernilai 0. Yaitu:

-6 cos x = 0

Cos x = 0

Maka 

Subtitusikan nilai x yang diperoleh ke dalam fungsi g(x).

Jadi nilai maksimum g(x) adalah 

   dan nilai minimum adalah

.

2.       Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut 

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa 11 merupakan sebuah konstanta sehingga f(x) maksimum jika 6 sin 2x – 3 cos 2x juga maksimum. 6 sin 2x – 3 cos 2x bentuknya sama dengan A sin x – B cos x sehingga nilai maksimum dan minimum adalah 

Nilai maksimum dan minimum = 

Nilai maksimum = 

Nilai minumum =

Karena

 maka

 dan

.

3.       Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari fungsi  pada selang  

Penyelesaian:

Diketahui fungsi 

Gunakan sifat turunan fungsi untuk mencari y’

Misalkan u = 5 dan v = cos x + sin x maka

                u’ = 0 dan v’ = - sin x + cos x

 

sehingga 

Kemudian cari titik kritis dari y.

 

Agar diperoleh y’ = 0 cukup perhatikan pembilang dari fungsi y’.

(sin x – cos x)5 = 0

Sin x – cos x = 0

Sin x = cos x

Maka diperoleh

 dan 

Substitusikan nilai x ke dalam fungsi y

Untuk

 

Untuk 

Jadi, nilai maksimum dari y adalah

 dan nilai minimumnya

.