Garis berat, garis bagi, garis tinggi, dan garis sumbu suatu segitiga

Garis berat, garis bagi, garis tinggi, dan garis sumbu suatu segitiga
1. Garis berat segitiga.
Adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi di depan nya sehingga membagi dua sama panjang sisi di depan nya.

D, E, F, titik tengah sisi BC, CA, dan AB. Garis BE, CF, dan AD disebut garis berat dan titik Z disebut titik berat.
AZ/ZD = BZ/ZE = CZ/ZF = 2/1
Luas ∆ABZ = luas ∆ BCZ = luas ∆ DAN = 1/3 luas ∆ ABC

2. Garis tinggi suatu segitiga
Adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut tegak lurus sisi dihadapannya.

AD tegak lurus BC, BE tegak lurus AC, CF tegak lurus AB.
AD, BE, dan CF disebut garis tinggi ∆ ABC, dan titik Hitam disebut titik tinggi.
∆ AFH sebangun dengan ∆ ADB
∆ BFH sebangun dengan ∆ BEA

Perhatikan ∆AFC, maka AF = b cos a
Perhatikan ∆AEB, maka AE = c cos a
Dst
Sehingga diperoleh:

Berdasarkan aturan Cosinus pada segitiga AEF diperoleh
EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2.AF. AE cos a
     = c^2 cos ^2 a + b^2 cos^2 b - 2 bc cos^2 a
     = (b^2 + c^2 - 2bc cos a) cos^2a
     = a^2 cos^2 a
EF = a cos a
Dengan cara yang sama diperoleh FD = b cos b, ED = c cos c
Akibatnya:

Perhatikan ∆ AFH
Sin b = AF / AH
AH = AF / Sin b = b cos a/ Sin b
AH = 2R Sin b cos a/ Sin b
AH = 2R cos a
Dengan cara yang sama diperoleh :
BH = 2R cos b
CH = 2R cos c

3. Garis bagi dalam segitiga
Adalah suatu garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sudut itu menjadi 2 bagian yang sama besar.

AD, BE, dan CF adalah garis bagi dalam pada segitiga ABC.
I adalah titik bagi ∆ABC
I adalah titik pusat lingkaran singgung dalam pada ∆ABC
Jari-jari lingkaran singgung dalam sama dengan jarak dari titik I ke sisi AB, BC dan CA = r

Luas ∆ABI = 1/2 AB. r = 1/2.cr
Luas ∆BCI =1/2 BC. r = 1/2 .ar
Luas ∆CAI = 1/2 CA. r = 1/2. br
Luas ∆ ABC = (a+b+c) /2 .r
Jadi luas ∆ ABC = r. s

Berlaku AF/BF = b/a
BD/CD = c/b
CE/AE = a/c

AP = AN = x
BP = BM= y
CM = CN = z
Keliling ∆ABC = 2x+2y+2z=2s
                               x+y+z=s
                              x = s - (y+z)
                              x = s -a
Dengan analisa yang sama diperoleh: y = s-b, dan z = s -c
Perhatikan ∆API
Tan 1/2a = r/x
r = x tan 1/2a
r = (s-a) tan 1/2a
Dengan cara yang sama diperoleh:
r = (s-b) tan 1/2b
r = (s-c) tan 1/2c

4. Garis bagi luar suatu sudut pada segitiga
5. Garis sumbu